Виталий Чекрыжев

Расширения Яндекс диска не работают, скачивание файлов через прокси.

Dropbox не поддерживает WebDAV и, как они заявляют, вряд ли когда будут.

Для копирования файлов вам понадобится написать код.
Общая идея такая:
1. Получение объекта для медиа источника откуда будете копировать, инициализация
2. Получение объекта для медиа источника куда будете копировать, инициализация
3. Получение списка файлов для копирования
4. Перебор списка файлов с вызовом UploadObjectsToContainer медиа источника назначения

Да, возможно копирование объектов файловой системы. Воспользуйтесь методом загрузки UploadObjectsToContainer($container, array $objects = array()).