Как обновлять товары не перезагружая страницу

Ну для начала открываете инструменты разработчика в браузере на странице сайта примера. Переходите на вкладку network кликаете по «разделу» и видим что улетел запрос на файл — catalog_gifts.php к которому get параметрами передан айдишник. Видим что запрос xhr тоесть сделан аяксом.
Вам нужно организовать тоже самое. Завести отдельный php скрипт. В него подключить основной index.php сайта, чтобы была возможность работать с объектом $modx и написать свой js который будет отлавливать клик по ссылке, получать айдишник категории, делать аякс запрос на ваш файл, в котором будет обработчик, который получит айдишник, найдет по нему товары в этом родителе и вернет их. Вы при помощи js просто вставите их на страницу. Наверное есть и более современные методы, сделать чтобы файл отдавал json, подключать какой-то js фреймворк, который умеет создавать компоненты и генерировать html, но врядли на сайте примере так.